On note \(\displaystyle u_n=\int^1_0\frac{x^n}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\)
Déterminer un équivalent de \(u_n\)

Changement de variable (entre \(0\) et \(1\) \(\to\) trigo)
Le changement de variable \(x=\cos(\theta)\) donne $$u_n=\int^{\pi/2}_0\cos(\theta)^n\,d\theta$$ on reconnaît alors l'intégrale de Wallis

Intégration par parties \(\to\) formule de récurrence
Par une intégration par parties, on obtient la formule de récurrence : $$(n+2)u_{n+2}=(n+1)u_n$$

En déduire par récurrence une formule en fonction de \(n\)
Puisque \(u_0=\frac\pi2\) et \(u_1=1\) (calcul rapide), on obtient par récurrence que : $$u_{2p}=\frac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^2}\times\frac\pi2\quad\text{ et }\quad u_{2p+1}=\frac{2^{2p}(p!)^2}{(2p+1)!}$$

Stirling \(\to\) équivalence

Nue fois la formule de Stirling établie, on obtient l'équivalent suivant au voisinage de l'infini : $$u_n\underset{+\infty}\sim\sqrt{\frac\pi{2n}}$$

(Intégrale de Wallis, Formule de Stirling)